Aplicación de la Integral

 Calculo de áreas entre 2 Grafica.

Dada la función  y (x) Integrable en un intervalo [a,b], el área de la de la región limitada por la función, el eje ox y la rectas x=a  x=b  

En algunas aplicaciones de ingeniería y de administración se requiere conocer el área entre dos curvas. En estos casos usamos la misma idea de la integral de Riemann pero ahora vamos a calcular la diferencia de las alturas de
las funciones y a considerar una pequeña banda vertical como un pequeño incremento en x (es decir, como \Delta x) y calcular el área en el intervalo de interés.

Calcula el área entre las funciones: y = x, y y = x^2, desde x=0 hasta x=1.

Tenemos dos formas distintas de calcular el área buscada. En el primer método calculamos las áreas por separado y calculamos la diferencia entre ambas. Empezamos calculando el área debajo de la recta:


\begin{equation*} \int\limits_{0}^{1}\!x\,dx = \left.\frac{x^2}{2}\right\vert_{0}^{1} = \frac{1}{2} \end{equation*}

Por otra parte, el área debajo de la parábola es:

  \begin{equation*} \int\limits_{0}^{1}\!x^2\,dx = \left.\frac{x^3}{3}\right\vert_{0}^{1} = \frac{1}{3} \end{equation*}

Geométricamente tenemos la siguiente situación:

Evidentemente, si al área que está debajo de la recta le restamos el área que está por debajo de la parábola, obtenemos el área entre las dos curvas:

\begin{equation*} A = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \end{equation*}

En el segundo método vamos a calcular la diferencia de las alturas de las funciones para cada punto. Esa distancia es la altura de cada diferencial de área:

  \begin{equation*} \int\limits_{0}^{1}\!(x - x^2)\,dx = \left.\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right\vert_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \end{equation*}

Observa que la recta está por encima de la parábola. Esa es la razón por la cual restamos la que está por debajo a la que está por arriba. Así la altura de cada diferencial es positiva y obtenemos un resultado positivo.







 












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